Anleitung zu den Plottern

Inhaltsverzeichnis

Konstanten
Verfügbare Funktionen
Komplexe Funktionen
Operatoren
Syntax und Semantik
Die jeweiligen Plotter im Einzelnen
Beispiele
Fortgeschrittene Anwendung

Konstanten

e.......eulersche Zahl
pi......Kreiszahl
tau.....2*pi
grad....pi/180
gon.....pi/200
gc......Euler-Mascheroni-Konstante
gr......goldener Schnitt

Verfügbare Funktionen

Elementare Funktionen
abs(x)........Betrag
sgn(x)........Signum
sqrt(x).......Wurzel
root(n,x).....n-te Wurzel
floor(x)......rundet x ab
ceil(x).......rundet x auf
rd(x).........gerundeter Wert
frac(x).......Nachkomma-Anteil
max(a,b)......Maximum
min(a,b)......Minimum
mod(x,m)......Modulo-Funktion
H(x)..........Sprungfunktion

exp(x)........Exponentialfunktion
ln(x).........natürlicher Logarithmus
lg(x).........dekadischer Logarithmus
ld(x).........Logarithmus zur Basis zwei
log(x,b)......Logarithmus zur Basis b

Trigonometrische Funktionen
sin(x)........Sinus
cos(x)........Kosinus
tan(x)........Tangens
cot(x)........Kotangens
sec(x)........Sekans
csc(x)........Kosekans

asin(x).......Arkus Sinus
acos(x).......Arkus Kosinus
atan(x).......Arkus Tangens
acot(x).......Arkus Kotanges
asec(x).......Arkus Sekans
acsc(x).......Arkus Kosekans

gd(x).........Gudermann-Funktion
hypot(x,y)....Länge des Koordinatenvektors (x,y)
angle(x,y)....Winkel des Koordinatenvektors (x,y)

Hyperbolische Funktionen
sinh(x).......Sinus Hyperbolicus
cosh(x).......Kosinus Hyperbolicus
tanh(x).......Tangens Hyperbolicus
coth(x).......Kotangens Hyperbolicus
sech(x).......Sekans Hyperbolicus
csch(x).......Kosekans Hyperbolicus

asinh(x)......Area Sinus Hyperbolicus
acosh(x)......Area Kosinus Hyperbolicus
atanh(x)......Area Tangens Hyperbolicus
acoth(x)......Area Kotangens Hyperbolicus
asech(x)......Area Sekans Hyperbolicus
acsch(x)......Area Kosekans Hyperbolicus

Schwingungen
twave(x,p)....Dreieckschwingung, p-periodisch
ptwave(x,p)...positive Dreieckschwingung, p-periodisch
sqwave(x,p)...Rechteckschwingung, p-periodisch
psqwave(x,p)..positive Rechteckschwingung, p-periodisch
stwave(x,p)...Sägezahnschwingung, p-periodisch
pstwave(x,p)..positive Sägezahnschwingung, p-periodisch

Analysis
diff(f,x).....Ableitung von f an der Stelle x
diff(f,x,2)...zweite Ableitung von f an der Stelle x
diff(f,x,n)...n-te Ableitung von f an der Stelle x
int(f,0,x)....Integral(von 0 bis x) f(t) dt
int(f,0,x,n)..Integration mit n Schritten
pow(f,n,x)....Verkettung von f mit sich selbst
sum(f,a,b)....Summe(k=a bis b) f(k)
prod(f,a,b)...Produkt(k=a bis b) f(k)
rand(a,b).....Zufallszahl aus dem Intervall [a,b)
inv(f,x)......Umkehrfunktion f^(-1)(x)
inv(f,x,a,b)..f^(-1)(x) für f definiert auf [a,b]

Hilfsfunktionen
[a1,...,an]...Zusammenfassung der Werte zu einer Liste
get(a,i)......das i-te Element aus der Liste a
size(a).......Anzahl der Elemente von a
cat(a,b)......verbindet die Listen a und b
range(a,b)....erzeugt die Liste [a,a+1,a+2,...,b]
range(a,b,d)..erzeugt die Liste [a,a+d,a+2d,...,b]
next(a).......wählt zyklisch ein Element aus der Liste a aus
rand(a).......wählt zufällig ein Element aus der Liste a aus
sum(a)........summiert alle Elemente der Liste a auf
prod(a).......multipliziert alle Elemente der Liste a
max(a)........Maximum von allen Elementen aus a
min(a)........Minimum von allen Elementen aus a
rev(a)........umgedrehte Liste
ipp(a)........Interpolationspolynom, a=[[x0,y0],...,[xn,yn]]
fn(a).........stückweise lineare Interpolation
fn(x0,d,a)....equidistante Stützstellen: [xk=x0+k*d, yk=a[k]]
map(f,a)......appliziert die Funktion f auf alle Elemente aus a
filter(f,a)...filtert Elemente aus a mit der Testfunktion f aus
reduce(f,a)...reduziert a mit f(x,y)
compose(a)....verkettet alle Funktionen aus der Liste a
count(f,a)....zählt, wie oft f(x) für x in a wahr ist
forall(f,a)...f(x) ist für alle x in a wahr
exists(f,a)...es gibt ein x in a bei dem f(x) wahr ist
table(f,a)....Wertetabelle für die Liste a
apply(f,x)....Applikation von f auf x
if(c,a,b).....wenn c, dann a, sonst b
not(a)........logische Negation
clamp(x,a,b)..min(max(x,a),b)
sma(f,x,n,h)..zentraler gleitender Mittelwert
cprod(a,b)....kartesisches Produkt der Listen a und b

Gamma und Verwandte
fac(x)........Fakultät
gamma(x)......Gamma-Funktion
lngamma(x)....ln(gamma(x)) für große x
digamma(x)....Digamma-Funktion
pgamma(n,x)...Polygamma-Funktion
B(a,b)........Beta-Funktion
gamma(s,x)....untere unvollständige Gamma-Funktion
Gamma(s,x)....obere unvollständige Gamma-Funktion
B(x,a,b)......unvollständige Beta-Funktion B[x](a,b)
I(x,a,b)......B(x,a,b)/B(a,b)
G(x)..........barnessche G-Funktion
hyperK(x).....K-Funktion

Kombinatorische
bc(n,k).......Binomialkoeffizient
ff(n,k).......fallende Faktorielle
rf(n,k).......steigende Faktorielle
s1(n,k).......Stirling-Zahl der ersten Art
s2(n,k).......Stirling-Zahl der zweiten Art

Elliptische Integrale
K(m)..........vollständiges elliptisches Integral K(m=k^2)
E(m)..........vollständiges elliptisches Integral E(m=k^2)
F(phi,m)......unvollständiges elliptisches Integral F(phi,m=k^2)
E(phi,m)......unvollständiges elliptisches Integral E(phi,m=k^2)
Pi(phi,n,m)...unvollständiges elliptisches Integral Pi(phi,n,m=k^2)
RF(x,y,z).....symmetrische Carlson-Form RF(x,y,z)
RJ(x,y,z,p)...symmetrische Carlson-Form RJ(x,y,z,p)
RC(x,y).......Kurzform für RF(x,y,y)
RD(x,y,z).....Kurzform für RJ(x,y,z,z)
agm(a,b)......arithmetisch-geometrisches Mittel
magm(a,b).....modifiziertes arithmetisch-geometrisches Mittel

Integralfunktionen
Ei(x).........Integral-Exponentialfunktion
En(n,x).......Integral-Exponentialfunktion E[n](x)
li(x).........Integral-Logarithmus
Li(x).........um li(2) versetzter Integral-Logarithmus
Si(x).........Integral-Sinus
Ci(x).........Integral-Kosinus

Bessel-Funktionen und Verwandte
BJ(a,x).......Bessel-Funktion J[a](x)
BY(a,x).......Bessel-Funktion Y[a](x)
Bj(a,x).......sphärische Bessel-Funktion j[a](x)
By(a,x).......sphärische Bessel-Funktion y[a](x)
BI(a,x).......modifizierte Bessel-Funktion I[a](x)
BK(a,x).......modifizierte Bessel-Funktion K[a](x)
Ai(x).........Airy-Funktion Ai(x)
Bi(x).........Airy-Funktion Bi(x)

Hypergeometrische Funktionen
F([a1,...,am],[b1,...,bn],x)
..............hypergeometrische Funktion
M(a,b,x)......konfluente hypergeometrische Funktion M(a,b,x)
U(a,b,x)......konfluente hypergeometrische Funktion U(a,b,x)

Zeta und Verwandte
zeta(s).......Zeta-Funktion
zeta(s,a).....hurwitzsche Zeta-Funktion
Phi(x,s,a)....lerchsche Zeta-Funktion
Li(s,x).......Polylogarithmus Li[s](x)
B(k)..........Bernoulli-Zahl, B(1)=+1/2
Bm(k).........Bernoulli-Zahl, Bm(1)=-1/2

Polynomfunktionen
PP(n,a,x).....Legendre-Polynom P[n,a](x)
PL(n,a,x).....Laguerre-Polynom L[n,a](x)
PH(n,x).......Hermite-Polynom H[n](x)
PT(n,x).......Tschebyschow-Polynom T[n](x)
PU(n,x).......Tschebyschow-Polynom U[n](x)

Fourier-Analysis
fa(f,i,j).....Fourier-Koeffizienten a[i] bis a[j]
fb(f,i,j).....Fourier-Koeffizienten b[i] bis b[j]
fs(x,a0,a,b)..Fourier-Reihe, a=[a1,a2,...], b=[b1,b2,...]
fs(x,a0,a)....Amplituden-Phasen-Form(cos), a=[[A1,phi1],[A2,phi2],...]
Fs(f,x).......Sinus-Transformation, x in Hz
Fc(f,x).......Kosinus-Transformation, x in Hz
comb(x,a,p)...Dirac-Kamm der Schärfe a und Periode p

Funktionalanalysis
sinc(x).......Kardinalsinus: sin(pi*x)/(pi*x)
delta(x,a)....Nadel-Impuls
L(f,x)........Laplace-Transformation
E(a,b,x)......Mittag-Leffler-Funktion E[a,b](x)
D(f,x,r)......fraktionale Ableitung (D^r)(f)(x)
J(f,a,x,r)....Riemann-Liouville-Integral (J[a]^r)(f)(x)
J2(f,a,x,r)...Riemann-Liouville-Integral, alternativer Algorithmus

Sonstige
W(x)..........Lambert-W-Funktion, oberer Ast
Wm1(x)........Lambert-W-Funktion, unterer Ast

Zahlentheorie
pm(x,n,m).....modulare Potenz
gcd(a,b)......größter gemeinsamer Teiler
lcm(a,b)......kleinstes gemeinsames Vielfaches
isprime(n)....Primzahltest
primes(m,n)...Liste der Primzahlen zwischen m und n
factor(n).....Primfaktorzerlegung
pcf(n)........Primzahlfunktion pi(n)
phi(n)........eulersche Phi-Funktion
lambda(n).....Carmichael-Funktion
sigma(n,k)....Teilerfunktion sigma[k](n)

Statistik
erf(x)........Fehlerfunktion
norm(x).......kumulierte Standardnormalverteilung
mean(a).......arithmetisches Mittel der Elemente aus a
sd(a).........Standardabweichung der Elemente aus a
cdf(a,x)......CDF für die Zufallszahlen in a
pmf(a,x)......PMF, a ist eine Liste von ganzen Zahlen

pmfB(n,p,k)...Binomialverteilung, PMF
cdfB(n,p,k)...Binomialverteilung, CDF
pmfG(p,k).....geometrische Verteilung, PMF
cdfG(p,k).....geometrische Verteilung, CDF
pmfH(N,K,n,k)...hypergeometrische Verteilung, PMF
cdfH(N,K,n,k)...hypergeometrische Verteilung, CDF
pmfP(lambda,k)...Poisson-Verteilung, PMF
cdfP(lambda,k)...Poisson-Verteilung, CDF
pmfLog(p,k)...logarithmische Verteilung, PMF
cdfLog(p,k)...logarithmische Verteilung, CDF

pdfN(mu,sigma,x)...Normalverteilung, PDF
cdfN(mu,sigma,x)...Normalverteilung, CDF
pdfLogN(mu,sigma,x)...Log-Normalverteilung, PDF
cdfLogN(mu,sigma,x)...Log-Normalverteilung, CDF
pdfExp(lambda,x)...Exponentialverteilung, PDF, E=1/lambda
cdfExp(lambda,x)...Exponentialverteilung, CDF, E=1/lambda
pdfst(n,x)....Student-t-Verteilung, PDF
cdfst(n,x)....Student-t-Verteilung, CDF
pdfF(m,n,x)...Fisher-Verteilung, PDF
cdfF(m,n,x)...Fisher-Verteilung, CDF
 qfF(m,n,p)...Fisher-Verteilung, p-Quantil
pdfW(a,b,x)...Weibull-Verteilung, PDF, E=b*gamma(1+1/a)
cdfW(a,b,x)...Weibull-Verteilung, CDF, E=b*gamma(1+1/a)
pdfGamma(b,p,x)...Gamma-Verteilung, PDF, E=p/b
cdfGamma(b,p,x)...Gamma-Verteilung, CDF, E=p/b
pdfBeta(p,q,x)...Beta-Verteilung, PDF
cdfBeta(p,q,x)...Beta-Verteilung, CDF
pdfchisq(n,x)...Chi-Quadrat-Verteilung, PDF
cdfchisq(n,x)...Chi-Quadrat-Verteilung, CDF
 qfchisq(n,p)...Chi-Quadrat-Verteilung, p-Quantil

Komplexe Funktionen

Elementare Funktionen
re(z).........Realteil
im(z).........Imaginärteil
conj(z).......Konjugation
arg(z)........Phasenwinkel
abs(z)........Betrag
sgn(z)........Signum
sqrt(z).......Wurzel
root(n,z).....n-te Wurzel
exp(z)........Exponentialfunktion
ln(z).........natürlicher Logarithmus
lg(z).........dekadischer Logarithmus
log(z,b)......Logarithmus zur Basis b

Trigonometrische Funktionen
sin(z)........Sinus
cos(z)........Kosinus
tan(z)........Tangens
cot(z)........Kotangens

asin(z).......Arkus Sinus
acos(z).......Arkus Kosinus
atan(z).......Arkus Tangens
acot(z).......Arkus Kotangens

Hyperbolische Funktionen
sinh(z).......Sinus Hyperbolicus
cosh(z).......Kosinus Hyperbolicus
tanh(z).......Tangens Hyperbolicus
coth(z).......Kotangens Hyperbolicus

asinh(z)......Area Sinus Hyperbolicus
acosh(z)......Area Kosinus Hyperbolicus
atanh(z)......Area Tangens Hyperbolicus
acoth(z)......Area Kotangens Hyperbolicus

Komplexe Analysis
diff(f,z).....komplexe Ableitung
diff(f,z,n)...n-te komplexe Ableitung
int(f,a,b)....Integral(von a bis b) f(t) dt
cint(f,g).....Wegintegral(von g(0) bis g(1)) f(z) dz
vint(f,a).....Wegintegral(von get(a,1) bis get(a,n)) f(z) dz

Gamma und Verwandte
fac(z)........Fakultät
gamma(z)......Gamma-Funktion
digamma(z)....Digamma-Funktion
gamma(s,z)....untere unvollständige Gamma-Funktion
Gamma(s,z)....obere unvollständige Gamma-Funktion

Elliptische Integrale
K(m)..........vollständiges elliptisches Integral K(m=k^2)
E(m)..........vollständiges elliptisches Integral E(m=k^2)

Integralfunktionen
erf(z)........Fehlerfunktion
Ei(z).........Integral-Exponentialfunktion
En(n,z).......Integral-Exponentialfunktion E[n](x)

Zeta und Verwandte
zeta(z).......Zeta-Funktion
zeta(s,a).....hurwitzsche Zeta-Funktion
Phi(x,s,a)....lerchsche Zeta-Funktion
B(k)..........Bernoulli-Zahl

Sonstige
theta1(z,q)...Theta-Funktion theta1(z,q)
theta2(z,q)...Theta-Funktion theta2(z,q)
theta3(z,q)...Theta-Funktion theta3(z,q)
theta4(z,q)...Theta-Funktion theta4(z,q)
sn(z,k).......Sinus Amplitudinis
cn(z,k).......Kosinus Amplitudinis
dn(z,k).......Delta Amplitudinis

Operatoren

01 f\x.....f appliziert auf x
02 a^b.....a hoch b
03 +a......plus a
03 -a......minus a
04 a*b.....a mal b
04 a/b.....a geteilt durch b
04 a%b.....a modulo b
05 a+b.....a plus b
05 a-b.....a minus b
06 a:b.....[a, a+1, a+2, ..., b]
06 a:b:d...[a, a+d, a+2d, ..., b]
07 a<b.....wenn a kleiner als b ist, dann 1, sonst 0
07 a>b.....wenn a größer als b ist, dann 1, sonst 0
07 a<=b....wenn a kleiner gleich b ist, dann 1, sonst 0
07 a>=b....wenn a größer gleich b ist, dann 1, sonst 0
08 a=b.....wenn abs(a-b)<epsilon, dann 1, sonst 0
08 a!=b....wenn abs(a-b)>epsilon, dann 1, sonst 0
09 a&b.....a und b
10 a|b.....a oder b

Syntax und Semantik

Folgendes ist bei der Syntax zu beachten:

* Das Dezimaltrennzeichen ist der Punkt.
* x hoch 2 schreibt man x^2.
* Anstelle von x^-1 muss man x^(-1) schreiben.
* Der Potenzierungsoperator ist links-assoziativ.
  Das heißt a^b^c = (a^b)^c.
* x/a/b bedeutet (x/a)/b.
* Anstelle von 2*x ist auch 2x erlaubt.
* Anstelle von (x+2)*(x-2) kann man auch (x+2)(x-2) schreiben.
* Anstelle von x(x-1) muss man aber x*(x-1) schreiben.
* Auch bei a*x und x*x darf das Multiplikationszeichen nicht
  ausgelassen werden.

Wenn am Anfang einer Eingabezeile ein Hash (#) steht, dann
wird die danach folgende Funktion definiert, jedoch nicht
gezeichnet. Z.B. sind die folgenden Eingaben möglich:
  f(x) = # sin(x)
  g(x) = f(2pi*x)

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x wird mit diff(f,x)
berechnet. Beispiel:
  f(x) = 2x
  g(x) = diff(f,x)

Die Formulierung diff(2x,x) ist jedoch falsch, da 2x ein Term ist
und keine Funktion. Die Variable x muss gebunden sein. Die Syntax
dafür ist {x| Term von x}. Zum Term 2x gehört die Funktion {x|2x}.
Man kann ebenso auch {t|2t} oder {u|2u} schreiben. Die richtige
Formulierung ist also g(x) = diff({x|2x},x).

Möchte man g(x) = Integral(von 0 bis x) 2t dt zeichnen,
so schreibt man g(x) = int({t|2t},0,x).

Die Eingabe von
  f(x) = 1+(x-2)+(x-2)^2/2+(x-2)^3/6
ist gleichbedeutend mit
  f(x) = {x|1+x+x^2/2+x^3/6}(x-2).

Der Operator ":=" weist einer Variablen einen Wert zu.
Anstelle von
  f(x,y) = sin(sqrt(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2)
kann man somit auch schreiben
  f(x,y) = r:=sqrt(x^2+y^2), sin(r)/r.

Es ist auch möglich, mehrere Funktionen auf einmal zu plotten.
Beispiele:
  f(x) = next([x,x^2,1/x])
  f(x) = next([-2,-1,1,2])*sin(x)
  f(x) = next(-4:4)*sin(x)
Es kann sein, dass die Graphen nicht richtig durchgezogen sind.
Die Erhöhung der Anzahl der Punkte wird die Lücken dann schließen.

Wenn eine Anweisung nicht für jeden x-Wert ausgeführt werden soll,
sondern nur ein einziges mal, so muss die Anweisung hinter einem
Semikolon erscheinen. Z.B. gibt es einen Unterschied zwischen
  f(x) = r:=rand(0,1), x+r
und
  f(x) = x+r; r:=rand(0,1).

Die jeweiligen Plotter im Einzelnen

Plotter für reelle Funktionen
px: Betrachtungspunkt, x-Koordinate
py: Betrachtungspunkt, y-Koordinate
wx: Breite vom Ausschnitt
wy: Höhe vom Ausschnitt

Das x-Intervall der Betrachtung ist
  [px-wx, px+wx]
und das y-Intervall ist
  [py-wy, py+wy].

n: Anzahl der Punkte im Intervall
  [px, px+wx]

a: Parameter
d: Abstand (a:=a-d, a:=a+d)
b: Parameter
d: Abstand (b:=b-d, b:=b+d)

Plotter für implizite Funktionen
Zwei Funktionen lassen sich simultan plotten, wenn sie durch
ein ODER getrennt werden. Wenn x*y=1 und y=x die beiden Funktionen
sind, so lautet die Eingabe also
  x*y=1 | y=x.
Wird das ODER (|) durch ein UND (&) ersetzt, so entspricht dies
einem Gleichungssystem. Anstelle von Gleichungen sind auch
Ungleichungen möglich, z.B.
  abs(x)+abs(y)<1.

Plotter für Lösungen von Differentialgleichungen
Man schreibt y1 anstelle von y' und y2 anstelle von y'' usw.

Plotter für Systeme aus zwei Differentialgleichungen
Wir wollen den gedämpften Schwinger untersuchen, der durch die
Gleichung y''+0.2y'+sin(y)=0 gegeben ist. Sei v(x):=y'(x). Die
Eingabe ist daher
  y'(x)=v,
  v'(x)=-0.2v-sin(y).
Wähle nun v(y) (Phasenraumportrait) anstelle von y(x).
Als Anfangswerte nimmt man nun z.B.
  x0=0,
  y(x0)=-10:10,
  v(x0)=0.

Plotter für Folgen
Die rekursive Definition von Folgen ist möglich.
Nehmen wir die rekursive Definition
  f(n) = wenn n=0 dann 1 sonst 2f(n-1)
als Beispiel. Die Eingabe dafür lautet
  f(n) = if(n=0,1,2f(n-1)).
In der Taschenrechnerzeile schreibt man stattdessen
  p:=fix({f,n|if(n=0,1,2f(n-1))}).
Die Funktion fix wird die Werte memoisieren. Definiere
  fib:=fix({f,n|if(n=1|n=2,1,f(n-1)+f(n-2))}).
Nun wird fib(40) effizient berechnet. Andernfalls
wäre die Anzahl der notwendigen Berechnungen in O(2^n).

Reihen können mit der Funktion sum(f,a,b) definiert werden.
Für Summe(von k=1 bis n) 1/k ist die Eingabe z.B.
  f(n) = sum({k|1/k},1,n)
oder auch
  f(n) = 1/n,
  g(n) = sum(f,1,n).

Plotter für komplexwertige Funktionen
Die Funktion f(x) = exp(i*x) soll als Beispiel dienen.
Schreibt man
  f(x) = exp(i*x),
so wird der Realteil geplottet. Man schreibt
  g(x) = im(exp(i*x)),
um den Imaginärteil zu zeichnen und analog
  h(x) = abs(exp(i*x))
für den Betrag.

Plotter für Fraktale
Die Darstellung von Julia-Mengen ist ebenfalls möglich.
Als Eingabe wählt man z.B. f(z)=z^2-1 und z0=c.
r: Beschränkungsradius
n: maximale Zahl an Iterationen

Beispiele

Tangente:
g(x) = diff(f,a)(x-a)+f(a)

Normale:
h(x) = -1/diff(f,a)(x-a)+f(a)

Funktion f auf das Intervall (0,1) einschränken:
g(x) = if(0<x&x<1,f(x),nan)

Funktion f auf dem Träger (0,1):
g(x) = if(0<x&x<1,f(x),0)
g(x) = f(x)(x>0)(x<1)

Partialsumme der Potenzreihe der Exponentialfunktion:
f(x) = sum({k|x^k/fac(k)},0,20)

Gammafunktion via Parameterintegral:
f(x) = int({t|t^(x-1)*exp(-t)},0,10)

Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung:
f(x) = {r|pow({x|r*x*(1-x)},40,rand(0,1))}(x)

Mandelbrotmenge:
f(z) = {c|pow({z|z^2+c},10,0)}(z)

Newton-Fraktal für x^3-1=0:
f(z) = pow({x|x-(x^3-1)/(3x^2)},10,z)
Mit einem Mausklick in eines der Basins bekommt man die
entsprechende Nullstelle.

Tabelle der Primzahlen:
filter(isprime,1:100)

Anzahl der Primzahlen:
count(isprime,1:100)

Primzahlzwillinge:
filter({k|isprime(k)&(isprime(k+2)|isprime(k-2))},1:100)

Primfaktorzerlegung der Zahlen von 1 bis 100:
table(factor,1:100)

Finde zyklische prime Restklassengruppen:
filter({n|phi(n)=lambda(n)},1:100)

Kettenbruchdarstellung der Exponentialfunktion:
f(x) = 1+x/(1-reduce({t,k|x/k/(1+x/k-t)},rev(2:10)))

Interpolationspolynom für tanh:
f(x) = p(x); p:=ipp(table(tanh,-6:6))

Fortgeschrittene Anwendung

Funktionen definieren
Mit der Taschenrechnerzeile kann man nicht nur Werte berechnen,
sondern auch eine beliebige Anzahl von Funktionen und Konstanten
definieren. Man schreibt in der Taschenrechnerzeile z.B.
  p:={x|2*x}
und betätigt dann den calc-Button. Die Funktion p(x) lässt sich
nun verwenden, wo auch immer man will.

Um die Funktion permanent zu definieren muss man die Zeile
  evals("p:={x|2*x}");
zum Ende der Datei "plot.js" hinzufügen. Falls die Funktion komplex
sein soll, fügt man stattdessen die Zeile
  evalsc("p:={x|2*x}");
zum Ende der Datei "cplot.js" hinzu.

Zur Liste der vordefinierten Funktionen können leicht weitere
in JavaScript programmierte Funktionen hinzugefügt werden.
Die Funktionen müssen lediglich in der Tabelle "ftab" aufgeführt
werden um im Plotter verwendbar zu sein. Z.B. fügt man den
folgenden Programmtext zur Datei "plot.js" hinzu.

function p(x){
  return 2*x;
}
ftab.p=p;

Funktionen mit zwei Argumenten
Will man die Funktion p(x,y)=x*y definieren, so schreibt man
in der Taschenrechnerzeile p:={x,y|x*y} und betätigt den
calc-Button. Die Definition von Funktionen mit mehr als zwei
Argumenten verläuft analog.

Alternativ lässt sich eine Liste zur Definition verwenden.
Definiere in der Taschenrechnerzeile p:={a|get(a,1)*get(a,2)}.
Der Aufruf erfolgt in diesem Fall nicht mit p(x,y),
sondern mit p([x,y]).

Definitionsbereich
Um die Funktion f(x)=sin(x) nur im Intervall (0,2pi) zu zeichnen,
schreibt man
  f(x) = if(0<x&x<2pi,sin(x),nan).
Der Ausdruck steht für
  wenn 0<x und x<2pi, dann sin(x), sonst not a number.

Gleichungen lösen
Die Gleichung f(x)=0 mit f(x)=e^x+x^3-2x soll gelöst werden. Ein Plot
zeigt, dass sich die Nullstelle im Intervall [-2,-1] befindet und
dass die Funktion f auf diesem Intervall injektiv ist. Man kan nun
die Umkehrfunktion mit g(x)=inv(f,x,-2,-1) zeichnen lassen.
Die Nullstelle ist dann einfach g(0). Um den Wert zu berechnen, gibt
man g(0) in die Taschenrechnerzeile ein.

Wertetabellen
Eine Wertetabelle für f(x)=x^2 auf dem Intervall [0,4]
erzeugt man durch die Eingabe von
  table({x|x^2},0:4:0.1)
in der Taschenrechnerzeile. Alternativ schreibt man
  map({x|[x,x^2]},0:4:0.1).

Zufallszahlen
Zufallszahlen, die einer bestimmten Verteilung folgen, lassen sich
mit der Inversionsmethode erzeugen. Plotte f(x) = inv(norm,x).
In der Taschenrechnerzeile lassen sich nun mit f(rand(0,1))
normalverteilte Zufallszahlen erzeugen. Definiere nun
  a:=map({k|f(rand(0,1))},1:1000).
Die Funktion g(x) = cdf(a,x) zeigt die Verteilungsfunktion
bezüglich der Zufallszahlen in der Liste a.

Farben
Eine Funktion lässt sich mit color(r,g,b) in einer anderen
Farbe darstellen. Dabei gehen r,g,b jeweils von 0 bis 255.
Wenn eine Zahl zu groß oder zu klein ist, so wird
sie auf das Intervall von 0 bis 255 eingeschränkt.
Man schreibt z.B.
  f(x) = sin(x), color(220,180,0).
Damit wird die Funktion in gelb dargestellt.
Die Eingabe des Befehls bcolor(r,g,b) in die Taschenrechnerzeile
verändert die Hintergrundfarbe der Zeichenfläche.

Pixelanzahl
Wenn man setw(1080) in die Taschenrechnerzeile eingibt,
so wird die Breite der Zeichenfläche auf 1080 Pixel erhöht.
Mit setw(w,h) ändert man Breite und Höhe unabhängig voneinander.

Koordinatensystem
Die Eingabe von sp(x,y) (set position) in der Taschenrechnerzeile
bewirkt, dass sich der Koordinatenursprung beim nächsten Plot an
der Pixelposition (x,y) befinden wird. Falls es eine Auswahl gibt,
muss diese jedoch auf manuell gestellt sein.

Maus
Wenn man mit der Maus auf die Zeichenfläche klickt, dann werden
die Koordinaten, auf die gezeigt wurde, in den Variablen mx und
my gespeichert. Man kann dann z.B. in der Taschenrechnerzeile
f(mx) auswerten.

Vertikale Linien
Um zusätzlich zur Funktion f(x) = 1/(x-2)/(x-4) an den Stellen zwei
und vier jeweils eine vertikale Linie zu zeichnen, schreibt man
  f(x) = 1/(x-2)/(x-4); vline(2,4).

Unstetigkeiten
Das Beispiel
  f(x) = sgn(x); scatter([0,0]); box([0,1],[0,-1])
veranschaulicht singuläre Punkte und die Abwesenheit von Punkten.
Ein komplizierteres Beispiel:
  f(x) = floor(x);
    scatter(map({x|[x,x]},-6:6)),
    box(map({x|[x+1,x]},-6:6))

Stückweise lineare Interpolation
Beispiel:
  f(x) = p(x); p:=fn([[0,0],[1,1],[2,0],[3,-1],[4,0]])

Stückweise lineare Interpolation, equidistante Stützstellen
Das letzte Beispiel hatte equidistante Stützstellen. Daher lässt sich
ein einfacherer Algorithmus verwenden. Verwende:
  fn(x0,d,[y0,y1,y2,y3,...,yn])
D.h. man hat die Punkte:
  [x0,y0], [x0+d,y1], [x0+2d,y2], [x0+3d,y3], ..., [x0+n*d,yn]
Somit vereinfacht sich das letzte Beispiel zu:
  f(x) = p(x); p:=fn(0,1,[0,1,0,-1,0])


Lineare Regression
Sei a eine Liste von Punkten [x,y].
Nun berechnet t:=rl(a) eine lineare Regression und es ist:
  y = t.ax*x+t.bx = t.ax*(x-t.mx)+t.my
  x = t.ay*y+t.bx = t.ay*(y-t.my)+t.mx
  t.mx: Mittelwert der x-Werte
  t.my: Mittelwert der y-Werte
  t.c: [t.mx,t.my] (Schwerpunkt)
  r: Korrelationskoeffizient

Beispiel:
  f(x) = p(x);
    a:=[[0,0],[1,2],[2,1],[3,4],[4,3],[5,4]],
    p:=fn(a), scatter(a), t:=rl(a), box(t.c)
  g(x) = t.ax*x+t.bx
  h(x) = (x-t.by)/t.ay

Speichern
Mit dem Befehl save() wird ein Bild von der Zeichenfläche erstellt,
welches gespeichert werden kann. In manchen Browsern kann auch die
Zeichenfläche als Bild gespeichert werden. In diesem Fall ist es
nicht notwendig, den Befehl save() zu benutzen.

Animationen
Die Amplitude der Sinus-Funktion soll zwischen -1 und 1 hin
und her schwingen. Definiere f(x) = r:=sin(a/10), r*sin(x). Schreibe
in der Taschenrechnerzeile ani() und betätige den calc-Button.

Closures
Schreibt man {x;T(x)} anstelle von {x|T(x)}, so wird ein Closure
erzeugt, falls die anonyme Funktion im Term einer anderen anonymen
Funktion enthalten ist.

Als Beispiel soll die Kettenbruchdarstellung der Exponential-
funktion dienen. Definiere in der Taschenrechnerzeile
  p:=compose(map({k|{t;x/k/(1+x/k-t)}},2:10))
und betätige dann den calc-Button.
Die Näherung für die Exponentialfunktion ist
  f(x) = 1+x/(1-p(0)).