Empfehlungen

Bücher und Artikel

Tobias Glosauer: »Elementar(st)e Gruppentheorie«.

Büchlein über die Theorie der Gruppen, die zu den Grundbegriffen der abstrakten Algebra gehört und eine mathematische Erfassung des Begriffs der Symmetrie erlaubt.

Lewis Carroll: »Alice’s Adventures in Wonderland«.

Aus der Langeweile des Tages heraus folgt die junge Alice einem weißen Kaninchen in einen Bau, und gerät so zu einem anscheinend absurden Ort.

»Chemical Disinfectants. Guideline for Disinfection and Sterilization in Healthcare Facilities«. Centers for Disease Control and Prevention, 2008.

Eine Zusammenfassung dazu, wie und wie stark verschiedene Desinfektionsmittel gegen unterschiedliche Krankheitserreger wirken.

Frances Hodgson Burnett: »The Secret Garden«.

Mary Lennox wächst Anfang des 20. Jahrhunderts in einer wohlhabenden britischen Familie in Indien auf, von der sie sehr verwöhnt wird. Eines Tages wird die Gegend jedoch von einer Choleraepidemie heimgesucht, in der ihre Eltern versterben. Mary kommt daraufhin nach England in die Obhut ihres Onkels, der ein Gut in Yorkshire besitzt. Obgleich ihr weder der Ort noch die abweisende Gesellschaft in den regnerischen Tagen ihrer Ankunft behagen, muss sie nun mit ihren neuen Lebensumständen zurechtkommen.

J. R. R. Tolkien: »The Lord of the Rings«. HarperCollins, 2008.

In einem gemächlichen Dorf im Auenland spürt der Zauberer Gandalf einen Ring der Macht auf. Er betraut den jungen Hobbit Frodo Beutlin mit der Aufgabe, den gefährlichen Ring aus dem Auenland zu bringen, woraufhin Frodo in eine Reise quer durch Mittelerde hineingezogen wird.

Wolfgang Imo: »Grammatik. Eine Einführung«. J.B. Metzler, Stuttgart 2016.

Erklärt unter anderem die Wortarten, die Phrasenstrukturanalyse und die Satzgliedanalyse.

Jostein Gaarder: »Sofies Welt«. Norwegen 1991.

Cozy Erzählung, in der die Schülerin Sofie Amundsen eines Tages einen an sie adressierten Brief im Briefkasten vorfindet. Der zunächst unbekannte Kontakt stellt sich mit der Zeit als ein Lehrmeister heraus, der Sofie die Geschichte der Philosophie erläutert.

Samuel Mimram: »Program = Proof«.

Ergänzung und Alternative zu den anderen aufgeführten Büchern über Logik, Typsysteme und Typentheorie. Einen der Schwerpunkte dieses Buchs stellt der Kalkül des natürlichen Schließens dar, der sowohl für die moderne Beweistheorie als auch für die mathematische Praxis bedeutsam ist. Hierbei kommt die besonders klare Sequenzen-Darstellung zum Einsatz. Der Leser wird damit bereits früh ans Arbeiten mit Sequenzen gewöhnt, die auch im anschließend erläuterten Sequenzenkalkül und den Typentheorien auftreten.

Gerhard Gentzen: »Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie«. In: »Mathematische Annalen«. Band 112, Berlin 1936, S. 493–565. Bd. 112 im GDZ.

In dieser Arbeit stellt Gentzen den Kalkül des natürlichen Schließens von Sequenzen vor, eine wichtige Modifikation seinens zuvor entwickelten Kalküls. Sequenzen stellen einen Hilfsbegriff zur expliziten Erfassung von Abhängigkeiten dar. Gentzen führte sie ursprünglich mit seinem Sequenzenkalkül ein, übertrug sie in dieser Arbeit allerdings auch auf das natürliche Schließen. Bis auf geringfügige Änderungen in der Notation werden formalisierte Beweise auf diese Weise noch heute in der modernen Mathematik geführt.

Philip Wadler: »Propositions as Types«.

Übersichtsartikel zur Curry-Howard-Korrespondenz.

Xavier Leroy: »Programming = proving? The Curry-Howard correspondence today«.

Eine Vorlesung über Typsysteme mit Bezug zur Typentheorie.

Jeremy Avigad: »Mathematical Logic and Computation«. Cambridge University Press, 2023. doi:10.1017/9781108778756.

Fortgeschrittene Ausführungen zum logischen Schließen, aber auch mit sorgfältiger Erklärung der Grundbegriffe.

Jeremy Avigad: »Foundations«. September 2021. arXiv:2009.09541v4.

Ein Überblick über die formalen Systeme, die bislang häufig als Basis für Beweisassistenten genutzt wurden.

Dirk W. Hoffmann: »Grenzen der Mathematik. Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik«.

Ein Lesebuch über die Grundlagen der Mathematik. Es enthält eine sorgfältige, aber nicht unter übermäßigen formalen Einzelheiten leidende Einführung in die mathematische Logik.

Graham Hutton: »Programming language semantics: It’s easy as 1,2,3«. In: »Journal of Functional Programming«. Band 33, 2023. doi:10.1017/S0956796823000072.

Kurze und prägnante Einführung in die formale Semantik.

Tilo Arens u. a.: »Mathematik«.

Umfassende Einführung in die höhere Mathematik. Eignet sich besonders für Ingenieure und Naturwissenschaftler.

»Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers«. In: Wikipedia.

Dieser Artikel über die Leistungen Eulers vermittelt ein Bild von der Mathematik des 18. Jahrhunderts.

Felix Klein: »Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus«. Springer, Berlin 1908, 4. Auflage 1933.

Obwohl nun bereits über 100 Jahre alt, zeigt dieser an Lehrer und Studenten adressierte Text auf, dass der damalige Erkenntnisstand, auf welcher Basis die Grundzüge der Mathematik zu vermitteln wären, modernen Entwicklungen gar nicht mal so unähnlich ist.

Matthias Bartelmann u. a.: »Theoretische Physik«.

Umfassende mathematische Einführung in die Physik. Unter anderem enthalten sind Mechanik, Elektrodynamik, Quantenmechanik, phänomenologische und statistische Thermodynamik. Des Weiteren enthalten ist fortgeschrittene Elektrodynamik mit Variationsrechnung und relativistischen Formulierungen.

William Shakespeare: »A Midsummer Night's Dream«. Fremdsprachentexte der »Universal-Bibliothek«, Reclam-Verlag, 2016.

Vier unglücklich Verliebte irren in einer Mitsommernacht kreuz und quer durch einen Wald. Es ist jedoch kein gewöhnlicher Wald, sondern das mächtige Reich des Elfenkönigs Oberon und seiner schönen Königin Titania, ein Tummelplatz für Feen, Elfen und Naturgeister. Wunderliche, für die Menschen unerklärliche Dinge passieren.
Diese Ausgabe enthält unter jeder Seite Erläuterungen zu den auftretenden Vokabeln und einen Anhang mit Anmerkungen. Dies erspart dem Leser den Aufwand, seltene Vokabeln recherchieren zu müssen.

Arthur Conan Doyle: »The Sign of the Four«.

Eines nebligen Tages sucht Miss Mary Morstan den Londoner Detektiv Sherlock Holmes auf, dem Dr. Watson zu diesem Zeitpunkt gerade Gesellschaft leistet. Sie bittet die beiden um Hilfe bei der Suche nach ihrem verschollenen Vater, der vor einigen Jahren nach der Rückkehr aus Indien verschwand.

Friedemann Schulz von Thun: »Miteinander reden«. Band 1: »Störungen und Klärungen. Allgemeine Psychologie der Kommunikation«.

Dieses Buch stellt das Vier-Seiten-Modell vor, nach welchem Kommunikation auf unterschiedlichen Ebenen stattfinden kann. Es gilt als bedeutsames Kommunikationsmodell, weil darin sozialpsychologische Aspekte ins Licht gerückt werden.

Ronald L. Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: »Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science«.

Dieses Buch enthält eine ausführliche Einführung in die abzählende Kombinatorik. Weniger umfänglich beschreibt es des Weiteren die elementare Zahlentheorie, Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Asymptotik. Inhaltlich ausgerichtet ist es, wie der Titel vermittelt, ans Studium der Informatik, im Besonderen der Algorithmik.

Harold Abelson, Gerald J. Sussman: »Struktur und Interpretation von Computerprogrammen«.

Dieses Buch erklärt die grundlegenden Konzepte der Programmierung, wobei es sich der reinen Lehre verpflichtet fühlt und den puristischen Lisp-Dialekt Scheme nutzt.

Benjamin C. Pierce: »Types and Programming Languages«.

Dieses Buch über den Entwurf von Typsystemen für Programmiersprachen gilt als ein Standardwerk.

The Univalent Foundations Program: »Homotopy Type Theory. Univalent Foundations of Mathematics«.

Das Buch umfasst mit dem ersten Kapitel eine sorgfältige Einführung in die Typentheorie. Sie bildet die Grundlage für zukunftsweisende Wege zum maschinengestützten Beweisen. Ein Muss für jeden, der sich bis aufs Kleinste von der Korrektheit mathematischer Beweise überzeugen möchte.

Norbert Henze: »Stochastik für Einsteiger«.

Sorgfältige Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Triceratops: »Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle«. Matroids Matheplanet, 14. August 2020.

Dieser Artikel erklärt, inwiefern die Berücksichtigung von Trivialfällen die Mathematik vereinfacht.

Harro Heuser: »Lehrbuch der Analysis Teil 1«.

Klassisches Werk über die Analysis.

Herbert Amann, Joachim Escher: »Analysis 1«. Birkhäuser, Basel 1998, 3. Auflage 2006.

Dieses Buch zeichnet sich dadurch aus, dass die Begriffe der Analysis in allgemeiner Form definiert und Sätze entsprechend allgemein formuliert werden. Mag es Anfänger ziemlich herausfordern, bietet es Fortgeschrittenen allerdings mehr Übersichtlichkeit, da es leichter fällt, allgemeine Formulierungen zu spezialisieren, als spezielle zu generalisieren. Insofern eigent sich dieses Buch eher für einen zweiten Durchlauf durch die Analysis.

Charles E. Mortimer, Ulrich Müller: »Chemie. Das Basiswissen der Chemie«.

Ein modernes Lehrbuch über die Grundlagen der Chemie, das auch viele quantitative Betrachtungen und Methoden aufführt. Es geht hierbei jeweils nicht sonderlich weit in die Tiefe, diesen Anspruch will es aber auch nicht erheben.

Daniel C. Harris: »Lehrbuch der quantitativen Analyse«.

Umfangreiches modernes Lehrbuch über analytische Chemie.

Luciano Ramalho: »Fluent Python«. O’Reilly, 2015.

Programmieren in Python für Fortgeschrittene.

Jim Blandy, Jason Orendorff, Leonora F.S. Tindall: »Programming Rust. Fast, Safe Systems Development«. O’Reilly, 2. Auflage 2021.

Lehrbuch über die Programmiersprache Rust, deren strenges Typsystem bei der Entwicklung korrekter effizienter Programme beträchtliche Unterstützung leistet.

Krzysztof R. Apt, Ernst-Rüdiger Olderog: »Fifty years of Hoare’s logic«. In: »Formal Aspects of Computing«. Band 31, Nr. 6, Dezember 2019, S. 751–807. doi:10.1007/s00165-019-00501-3.

Dieser Übersichtsartikel erläutert den Hoare-Kalkül und dessen Fortentwicklungen. Es handelt sich um einen Formalismus zum Nachweis der Korrektheit von Algorithmen. Korrekt bedeutet hierbei, dass das vom Algorithmus berechnete Ergebnis eine Nachbedingung erfüllt, sofern für die Eingabe eine Vorbedingung gilt.

Edsger W. Dijkstra: »A Discipline of Programming«. Prentice Hall, 1976.

Vertiefung zur Korrektheit von Algorithmen.

Glynn Winskel: »The Formal Semantics of Programming Languages: An Introduction«. The MIT Press, 1993.

Erklärt ausführlich, wie der Ablauf von Programmen direkt in Bezug auf die Syntax einer einfachen Programmiersprache logisch beschrieben wird.

David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn: »Dynamic Logic«. The MIT Press, 2000.

Fortgeschrittene Erläuterungen zur Korrektheit von Algorithmen, in denen der Hoare-Kalkül vermittels einer speziellen Modallogik und deren Kripke-Semantik eruiert wird.

Vladimir I. Arnold: »Gewöhnliche Differentialgleichungen«. Springer, 2. Auflage 2001. Übersetzung der 3. Auflage des russischen Originals.

Eine Einführung, die sich geometrischer Anschauung bedient und die qualitative Seite der Phänomene betont. So ist auch eine Einführung in die Stabilitätstheorie enthalten.

Fred Brauer, Pauline van den Driessche, Jianhong Wu (eds.): »Mathematical Epidemiology«.

Grundzüge mathematischer Modellierung zur Beschreibung der Ausbreitung ansteckender Krankheiten.

Anthony A. Harkin, Joseph B. Harkin: »Geometry of Generalized Complex Numbers«. In: »Mathematics Magazine«. Band 77, Nr. 2, 2004.

Zu den gewöhnlichen komplexen Zahlen gesellen sich zwei weitere komplexe Zahlensysteme. Die dualen Zahlen bieten in der Numerik ein Hilfsmittel, anhand dessen sich die Prinzipien des automatischen Differenzierens studieren lassen. Die anormal-komplexen Zahlen bieten ein Hilfsmittel zum tieferen Verständnis der Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie. Der Artikel erwägt eine gemeinsame Beschreibung der drei Zahlensysteme.

Klaus Jänich: »Mathematik 1: Geschrieben für Physiker«. Springer, 2001, 2. Auflage 2005.

Eine genaue Erörterung der von Physikern genutzen Mathematik.

Klaus Jänich: »Mathematik 2: Geschrieben für Physiker«. Springer, 2002, 2. Auflage 2011.

Physiker erklären die Prinzipien der analytischen Mechanik meist nicht so streng, wie Mathematiker es tun würden. In diesem Buch findet sich eine genauere Erläuterung, die diese klaffende Lücke füllt.

John M. Lee: »Introduction to Smooth Manifolds«. Springer, New York 2003, 2. Auflage 2013.

Umfangreiches Lehrwerk über die Analysis auf Mannigfaltigkeiten. Dieses Kerngebiet der Differentialgeometrie gewährt vornehmlich die Klarstellung und tiefere Durchdringung der von Physikern benutzten Begrifflichkeiten.

Tristan Needham: »Visual Complex Analysis«.

Erklärt die Funktionentheorie vom geometrischen Blickwinkel aus.

Thomas J. Osler: »Leibniz Rule for Fractional Derivatives Generalized and an Application to Infinite Series«. In: »SIAM Journal on Applied Mathematics«. Band 18, Nr. 3, 1970, S. 658–674. doi:10.1137/0118059.

Dieser Artikel stellt nach einer sehr kurz gefassten Einführung der Begriffe fraktionale Ableitung und fraktionales Integral eine Beziehung zwischen dem Riemann-Liouville-Integral und der cauchyschen Integralformel der Funktionentheorie her. Mit den gemachten Utensilien erfolgt anschließend eine Diskussion der verallgemeinerten Produktregel.

Allen Hatcher: »Topology of Numbers«. American Mathematical Society, 2022.

Betrachtet die Grundzüge der Zahlentheorie aus einer geometrischen Sichtweise. Kein Buch über Topologie im engeren Sinne.

Joseph A. Gallian: »Contemporary Abstract Algebra«. Cengage Learning, 8. Auflage 2012, 9. Auflage 2016.

Einführung in die Theorie der Gruppen, Ringe und Körper.

Tianyu Sun, Wensheng Yu: »A Formal System of Axiomatic Set Theory in Coq«. In: »IEEE Access«. Band 8, 2020, S. 21510–21523. doi:10.1109/ACCESS.2020.2969486.

Eine günstige Umsetzung der recht unkompliziert handhabbaren Morse-Kelley-Mengenlehre. Der Ansatz ist allerdings wesentlich älter, siehe zum Beispiel Abschnitt 10.3 im Artikel »Computer Theorem Proving in Math« von Carlos Simpson, der bereits 2003 veröffentlicht wurde.

Christoph Lamm: »Karl Grandjot und der Dedekindsche Rekursionssatz«. In: »Mitteilungen der DMV«. Band 24, Nr. 1, 2016, S. 37–45. doi:10.1515/dmvm-2016-0018.

Der Rekursionssatz von Richard Dedekind bestätigt die Existenz und Eindeutigkeit rekursiv festgelegter Funktionen. Allerdings reichen die Peano-Axiome nicht zur direkten Nutzung von Dedekinds Beweis aus, da darin die Ordnungsrelation der natürlichen Zahlen vorkommt. Wäre diese über die rekursiv festgelegte Addition definiert, würde der Beweis zirkulär.

Michael A. Shulman: »Set theory for category theory«. Oktober 2008. arXiv:0810.1279.

Der Artikel bespricht die Mengenlehren NBG/MK, die das Konzept der echten Klassen beinhalten, und diskutiert Grothendieck-Universen als Alternative, die verbleibende Beschränkungen überwindet.

William R. Cook: »On understanding data abstraction, revisited«. In: »Proceedings of the 24th ACM SIGPLAN conference on Object oriented programming systems languages and applications« (OOPSLA '09). Association for Computing Machinery, New York, NY, 2009, S. 557–572. doi:10.1145/1640089.1640133.

Mechanismen zur Abstraktion gelten als ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion großer Softwaresysteme. Cook unternimmt in diesem Artikel Überlegungen, die den Unterschied zwischen abstrakten Datentypen und Objekten ans Tageslicht fördern.

Douglas R. Hofstadter: »Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band«. Klett-Cotta, Stuttgart 2016. Englische Erstausgabe 1979.

In diesen Lesebuch unternimmt Hofstadter umfangreiche Reflexionen über das Wesen der Selbstbezüglichkeit, einmal als Problem bei formalen Systemen, und weiter im Bezug zum Menschen.

Videos

Einfach Japanisch: »Japanisch lernen für Anfänger Crashkurs Teil 1«.

Schreibung, Aussprache und Struktur einfacher japanischer Sätze.

Einfach Japanisch: »50+ praktische Wörter und Sätze zum Lernen für Anfänger«.

Mit Schreibung, Lesung, Romaji und Aussprache.

»Geschichte der Asteroidenforschung. DLR-Astroseminar 2020 (Vortrag 1)«. YouTube-Kanal »Urknall, Weltall und das Leben«, 9. August 2020.

Ein Vortrag von Hermann-Michael Hahn über die Beobachtung von Bahnresonanz und die Widerlegung der titius-bodeschen Regel.

3Blue1Brown: »Essence of linear algebra«.

Videoreihe zu den Grundlagen der linearen Algebra.

Mathologer: »Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+...=−1/12«.

Dieses Video erklärt, inwiefern man mit unendlichen Reihen behutsam umgehen muss.

Edmund Weitz: »Die Methode der kleinsten Quadrate oder: Wie Ceres (wieder)entdeckt wurde«. YouTube-Kanal »Weitz / HAW Hamburg«, 20. April 2020.

Eine Einführung in die Ausgleichsrechnung.

3Blue1Brown: »How a Mandelbrot set arises from Newton’s work«.

Kurzes Video über komplexe Dynamik.

Michael Stevens: »How To Count Past Infinity«. YouTube-Kanal »Vsauce«, 9. April 2016.

Dieses kurze Video verschafft einen Überblick über wesentliche Prinzipien der Theorie der Kardinalzahlen und Ordinalzahlen.

Freya Holmér: »The Beauty of Bézier Curves«.

Dieses Video erklärt die Prinzipien hinter Bézierkurven.

Freya Holmér: »The Continuity of Splines«.

Motiviert und erläutert unterschiedliche Arten von Splines, wobei deren Untersuchung wie von Zauberhand auf die Konzepte der Kurventheorie führt.

Richard Southwell: »Modern Foundations of Mathematics«.

Vorlesung über die Grundlagen der Mathematik mit Fokus auf die Typentheorien als Kalküle der Beweistheorie.

James Grime: »Alan Turing's lost radio broadcast rerecorded«. YouTube-Kanal »singingbanana«, 24. Dezember 2012.

Lesung von Turings Vortrag »Can Digital Computers Think?«.

Maxwell Hunt, Alexander Kaminsky: »4D Thinking for 3D Graphics«. YouTube-Kanal »Maxwell Hunt«, 14. August 2022.

Erklärt die Matrizenrechnung in homogonen Koordinaten und wie sie zustande kommt.

»How to do two (or more) integrals with just one«. YouTube-Kanal »Morphocular«, 16. Juni 2022.

Geometrische Erklärung zur cauchyschen Formel für mehrfache Integration.

»Measure Theory«. YouTube-Kanal »The Bright Side of Mathematics«, 2019.

Eine Einführung in die Maßtheorie.

»Distribution theory«. YouTube-Kanal »The Bright Side of Mathematics«, 2020.

Eine Einführung ins Rechnen mit Distributionen.

Artem Kirsanov: »Differential Equations: The Language of Change«.

Ein kurzes Outline anhand Euler-Verfahren, exponentiellem Wachstum und Räuber-Beute-Modellen.